Ce texte étant plus vieux que les ordinateurs personnels, on ne le trouve que sur papier et, comme on peut s’en convaincre au premier coup d’œil, en faire une édition digitale ne serait pas une mince affaire. Je le donne donc ici en facsimilé, précédé de la table des matières et de l’introduction, et suivi de la bibliographie (qui ne posent pas de grands problèmes de reconnaissance de caractères et d’édition). Parce qu’il comportait aussi un peu moins de difficultés, j’ai digitalisé et édité encore le paragraphe 4 du chapitre 3 qui situe un peu le travail par rapport à la littérature existante en indiquant ce qui est nouveau. J’ai compilé un index des notions et un index des auteurs mentionnés dans le texte, qui n’existaient pas en 1965.

Le document original fait 164 pages (reprises dans le facsimilé en DjVu), page de titre, pages i à v, pages 1 à 156, dont, par accident de dactylographie, deux pages 8 et deux pages 31. Le papier est de 20,8 × 26,9 cm, format classique pour l’époque. (Les papetiers n’avaient pas encore compris la supériorité du facteur √2.) Dans le DjVu, j’ai un peu diminué les marges. La zone reprise est de 18,12 × 24,83 cm.

J’ai rédigé la présente page en juin-juillet 2015 (tiens ! c’est le cinquantième anniversaire du document) et j’ai refait le DjVu. Dans le DjVu, j’ai quand même créé une couche texte. Les écritures mathématiques ne seront bien sûr pas bien rendues, mais on pourrait copier le texte de quelques phrases. J’ai écrit une note sur la technique pour scanner en vue d’un DjVu, y compris la reconnaissance de texte. La source en TEI XML de la présente page est convergence.xml.

Les numéros de page sont ceux qui apparaissent en haut de la page imprimée ; ce ne sont pas les numéros de page du fichier DjVu.

• 0. Notations et conventions → 1
• 1. Espace general-topologique → 5

  1-1. → 5

  Espace general-topologique. Voisinages, intérieur et adhérence. Intérieur et adhérence comme concept initial de la structure d’espace general-topologique. Ouverts et fermés. Axiome (ₒ).

  1-2. → 9

  Continuité. Comparaison des general-topologies. Relativisation. General-topologies projective et produit. General-topologie quotient.

• 2. Espace m-topologique → 31

  2-N. → 31

  Les opérations F, G et H. Systèmes héréditaires et antihéréditaires. Systèmes rares et sous- systèmes. Fermeture antihéréditaire d’une application. Images des opérations F et G.

  2-1. → 59

  Fonction de voisinage antihéréditaire. Intérieur et adhérence monotones. Axiome (m). Espace m-topologique. Intérieur et adhérence monotone comme concept initial de la structure d’espace m-topologique. Axiome (ₒ).

  2-2. → 43

  La convergence des systèmes rares. La convergence des systèmes rares comme concept initial de la structure d’espace m-topologique. Relations de la convergence avec les autres concepts de la structure d’espace m-topologique.

  2.-3. → 50

  Ouverts et fermés. Continuité. Comparaison des m-topologies. Relativisation. Systèmes fondamentaux de voisinages. m-topologie associée à une general-topologie. L’ensemble des m-topologies sur E comme quotient de l’ensemble des general-topologies sur E. La catégorie des espaces m-topologiques comme quotient de la catégorie des espaces general-topologiques. m-topologies projective et produit. m-topologie projective de m-topologies associées, m-topologie quotient. m-topologie quotient d’une m-topologie associée.

  2-N′ → 76

  Propriétés des sections et des parties finales pour une relation binaire transitive. L’ensemble des quasi-ordres sur D comme quotient de l’ensemble des relations transitives sur D. La catégorie des quasi-ordres comme quotient de la catégorie des relations transitives. Quasi-ordonnateur sur un ensemble. Quasi ordonnateur rare. Relations transitives non bloquées. Cofinalité. Comparaison des quasi-ordonnateurs. Quasi-ordonnateurs antisymétriques.

  2-4. → 93

  Domaines représentatifs de la convergence des fonctions. La convergence des fonctions sur un domaine représentatif. La convergence des fonctions sur un domaine représentatif comme concept initial de la structure d’espace m-topologique. Relations entre la convergence des fonctions et les autres notions de la structure d’espace m-topologique. Convergence des fonctions selon un système rare. Convergence des fonctions selon un quasi-ordonnateur rare. Convergence des fonctions orientées.

  2-5. → 109

  La convergence des systèmes quelconques. La convergence des fonctions selon une relation transitive quelconque. Espaces (ℒ) et (ℒ*). Travaux antérieurs sur la convergence des fonctions. Convergence des filtres.

• 3. Espaces p-topologique, mp-topologique et mpi-topologique. → 114

  3-1. → 114

  Voisinages propres, intérieur dégressif et adhérence progressive. Axiome (p). Espace p~topologique. Dérivation et points d’accumulation. La dérivation comme concept initial de la structure d’espace p-topologique. Ouverts et fermés. Axiome (ₒ). Continuité. Comparaison des p-topologies. Relativisation. p-topologie associée à une general-topologie. p-topologies projective et produit. p-topologie projective de p-topologies associées. p-topologie quotient. p-topologie quotient d’une p-topologie associée.

  3-2. →128

  Convergence propre, dérivation monotone. Espace mp-topologique. Continuité. Relativisation. mp-topologies projective et produit. mp-topologie quotient.

  3-3. → 134.

  Axiome (i). Espace mpi-topologique. La famille des ouverts comme concept initial de la structure d’espace mpi-topologique. Continuité. Comparaison des mpi-topologies. Relativisation. mpi-topologies projective et produit. mpi-topologie associée à une general-topologie. mpi-topologie quotient.

  3-4. → 148.

  Remarques bibliographiques. Entourages et voisinages. Continuité entre espaces general-topologiques.

• Bibliographie → 152

Notre intention centrale était d’édifier une théorie générale de la convergence, généralisant la convergence des bases de filtre, et d’y greffer une convergence des fonctions de manière à retrouver les résultats de Mahlon M. Day sur ce sujet. Plus précisément, il s’agissait d’étudier les relations d’une notion de convergence avec les notions de voisinages, d’intérieur et d’adhérence de la topologie, mais privées de certains de leurs axiomes. Nous avons été amenés alors à définir sur la base de ces notions des espaces plus généraux que les espaces topologiques et a étudier leur structure. Nous avons ensuite étudié la possibilité d’utiliser d’autres concepts initiaux : l’ensemble dérivé et les ouverts, arrivant ainsi, sans pour autant utiliser tous les axiomes habituels, à organiser presque tout l’arsenal des concepts de base avec les définitions et les relations qui les lient l’un à l’autre en topologie.

Nous tenons à remercier ici Monsieur Jacques Boël qui nous a aidé de ses conseils tout au long de ce travail et qui en particulier nous à encourage a définir et à étudier les produits et les quotients des structures que nous avions décrites.