Friedrich Engels, Dialectique de la nature, retour à la table des matières

[Mathématiques]

Les rares déterminations de la pensée dont les mathématiques aient besoin comme points de départ sont ce qu’on appelle les axiomes mathématiques. Les mathématiques sont la science des grandeurs ; elles partent du concept de grandeur. Elles en donnent une définition boiteuse et y ajoutent ensuite de l’extérieur, sous forme d’axiomes, les autres déterminations élémentaires de la grandeur qui ne sont pas contenues dans la définition, ce qui fait apparaître les axiomes comme non démontrés et, naturellement aussi, non démontrables mathématiquement. L’analyse de la grandeur ferait apparaître toutes ces déterminations axiomatiques comme des déterminations nécessaires de la grandeur. Spencer à raison dans ce sens que l’évidence, manifeste pour nous, de ces axiomes est acquise par hérédité. Ils sont démontrables dialectiquement dans la mesure où ils ne sont pas de pures tautologies ¹.

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Éléments mathématiques ². Rien, semble-t-il, ne repose sur une base plus inébranlable que la différence entre les quatre opérations, rudiments de toute mathématique. Et pourtant, d’emblée, la multiplication s’avère déjà être une addition abrégée ; la division, une soustraction abrégée d’un nombre déterminé de grandeurs numériques égales et, dans un cas au moins — quand le diviseur est une fraction — la division est effectuée à l’aide d’une multiplication par la fraction renversée. Mais en algèbre on va beaucoup plus loin. Toute soustraction (a – b) peut être figurée comme addition (– b + a), toute division comme multiplication . Quand on opère avec des grandeurs élevées à une puissance, on va bien plus loin encore. Toutes les différences fixes des opérations mathématiques disparaissent, tout peut être figuré sous la forme inverse. Une puissance peut être figurée comme racine , une racine comme puissance . L’unité divisée par une puissance ou une racine, comme puissance du dénominateur  ; La multiplication ou la division des puissances d’une grandeur se change en l’addition ou la soustraction de ses exposants. Tout nombre peut être considéré et figuré comme puissance de tout autre nombre (logarithmes, ). Et cette métamorphose d’une forme en son inverse n’est pas un jeu oiseux, elle est un des leviers les plus puissants de la science mathématique, sans lequel il n’est guère de calcul un peu difficile qui soit effectué aujourd’hui. Que l’on retranche seulement de la mathématique les puissances négatives et fractionnelles, et l’on verra si, sans elles, il est possible d’aller loin.

(− × − = +, −/− = +, , etc., à développer auparavant.)

La grandeur variable de Descartes a marqué un tournant en mathématique. C’est avec elle que le mouvement et la dialectique sont entrés dans la mathématique et que devinrent tout de suite indispensables le calcul différentiel et intégral ; qui naissent d’ailleurs immédiatement et devaient être en général et dans l’ensemble mis au point, non pas inventés, par Newton et Leibniz.

Quantité et qualité ³. Le nombre est la détermination quantitative la plus pure que nous connaissions. Mais il est plein de différences qualitatives. 1. Hegel, nombre et unité, multiplication, division, élévation à une puissance, extraction de racine. Ceci produit déjà, ce qui n’apparaît pas chez Hegel, des différences qualitatives : nombres premiers et produits, racines simples et puissances. 16 n’est pas seulement l’addition de 16 unités, il est aussi le carré de 4, le bicarré de 2. Plus encore, les nombres premiers communiquent aux nombres résultant de leur multiplication par d’autres nombres des qualités nouvelles, bien déterminées : seuls les nombres pairs sont divisibles par 2, détermination semblable pour 4 et 8. Pour 3 intervient la somme des chiffres, de même pour 9 et pour 6, où elle se combine avec la propriété de nombre pair. — Pour 7, une loi particulière. C’est là-dessus que se fondent ensuite des tours de passe-passe numériques qui paraissent incompréhensibles aux profanes. Donc ce que dit Hegel (Quantum, p. 237) ⁴ sur la pauvreté de pensée de l’arithmétique est inexact. Cf. toutefois « Mesure » ⁵.

Dès que les mathématiques parlent d’infiniment grand et d’infiniment petit, elles introduisent une différence qualitative qui se présente même comme une opposition qualitative inconciliable : il s’agit de quantités dont la différence entre elles est si énorme que cessent tout rapport rationnel, toute comparaison entre elles, qu’elles deviennent incommensurables quantitativement. L’incommensurabilité ordinaire, par exemple celle du cercle et de la droite, est elle aussi une différence qualitative dialectique ; mais, ici ⁶, c’est la différence entre quantité de grandeurs de même nature qui intensifie la différence de qualité jusqu’à les rendre incommensurables.

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Nombre ⁷. Le nombre isolé reçoit déjà une qualité dans le système numérique et selon ce système. 9 n’est pas seulement 1 additionné 9 fois, mais la base de 90, 99, 900 000, etc. Toutes les lois des nombres dépendent du système de base adopté et sont déterminées par lui. Dans le système numérique à base 2 et à base 3 ⁸. 2 × 2 ne fait pas 4, mais 100 ou 11. Dans tout système à base impaire, la différence entre nombres pairs et impairs disparaît. Par exemple dans le système à base cinq, 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30 ⁹. De même dans ce système on voit disparaître la règle de la somme (divisible par 3) des chiffres des multiples de 3 ou de 9 (6 = 11, 9 = 14) ¹⁰. Le nombre de base détermine donc non seulement sa propre qualité, mais aussi celle de tous les autres nombres.

Avec la relation de puissance, les choses vont plus loin encore tout nombre peut être conçu comme puissance de tout autre nombre — il y a autant de systèmes de logarithmes qu’il y a de nombres fractionnaires.

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Unité ¹¹. Rien ne semble plus simple que l’unité quantitative et rien n’est plus varié qu’elle, dès que nous commençons à l’étudier en liaison avec la pluralité correspondante et que, du point de vue de ses différents modes d’apparition, nous l’étudions à partir de cette pluralité. L’unité est avant tout le nombre de base de tout système numérique dont l’addition successive avec lui-même donne naissance à tous les autres nombres. — Un est l’expression de toutes les puissances positives, négatives ou fractionnaires de un : , , sont tous égaux à 1. — Un est la valeur de toutes les fractions dont le numérateur et le dénominateur s’avèrent égaux. — Il est l’expression de tout nombre élevé à la puissance zéro et donc le seul nombre dont, dans tous les systèmes, le logarithme est le même, à savoir = 0. L’unité est par là même la limite qui divise en deux tous les systèmes de logarithmes possibles : si la base est plus grande que 1, les logarithmes de tous les nombres supérieurs à 1 sont positifs, ceux de tous les nombres. inférieurs à 1 négatifs ; si elle est inférieure à 1, c’est l’inverse qui se produit. — Si donc tout nombre renferme en soi l’unité dans la mesure où il se compose uniquement d’unités additionnées, celle-ci à son tour renferme en elle tous les autres nombres. Non seulement virtuellement, dans la mesure où nous pouvons construire tout nombre avec des unités, mais réellement, dans la mesure où l’unité est une puissance déterminée de tous les autres nombres. Mais ces mêmes mathématiciens qui, sans sourciller, introduisent dans leur calcul, où cela leur convient, x⁰ = 1, ou une fraction de numérateur et de dénominateur égaux (qui représente donc également 1), ces mathématiciens qui utilisent donc mathématiquement la multiplicité contenue dans l’unité, rechignent et grimacent quand on leur dit en l’exprimant sous forme générale que l’Un et le Multiple sont inséparables, qu’ils sont des concepts qui se pénètrent mutuellement et que le Multiple n’est pas moins contenu dans l’Un que l’Un dans le Multiple. Nous voyons à quel point il en est ainsi dès que nous quittons le domaine des nombres purs. Déjà dans la mesure des lignes, des surfaces et des volumes il apparaît que nous pouvons adopter comme unité toute grandeur quelconque de l’ordre correspondant, et il en va de même dans la mesure du temps, du poids, du mouvement, etc. Pour mesurer les cellules, le millimètre et le milligramme sont encore trop grands ; pour mesurer des distances stellaires ou des vitesses de la lumière, le kilomètre est déjà aussi incommode par sa petitesse que le kilogramme pour les masses planétaires ou, à plus forte raison, solaires. Ici on voit se manifester avec évidence quelle variété et quelle multiplicité sont contenues dans le concept, au premier abord si simple, d’unité.

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Du fait qu’il est la négation de toute quantité déterminée, zéro n’est cependant pas sans contenu. Il a au contraire un contenu tout à fait déterminé. Comme limite entre toutes les grandeurs positives, et toutes les grandeurs négatives, comme unique nombre réellement neutre qui ne peut être ni positif ni négatif, il est non seulement un nombre très déterminé, mais encore plus important par sa nature que tous les autres nombres qu’il limite. En fait, zéro est plus riche de contenu que tout autre nombre. Placé à la droite de tout autre nombre dans notre système de numération, il décuple sa valeur. Au lieu de zéro on pourrait utiliser à cette fin tout autre signe, mais seulement à la condition que, pris en soi, ce signe signifie zéro, soit = 0. Il est donc dans la nature du zéro lui-même qu’il soit employé de cette façon, que seul il puisse être utilisé ainsi. Zéro annule tout autre nombre par lequel on le multiplie ; pris comme diviseur ou dividende de tout autre nombre, il rend celui-ci, dans le premier cas infiniment grand, dans le second infiniment petit ; il est le seul nombre qui soit dans un rapport infini avec tout autre nombre. La fraction peut exprimer tout nombre entre + ∞ et − ∞ et représente en tout cas une grandeur réelle. — Le contenu réel d’une équation n’apparaît clairement que lorsque tous ses termes sont passés du même côté et que l’équation est réduite à la valeur de zéro, comme c’est le cas déjà pour les équations du second degré et presque universellement la règle dans l’algèbre supérieure. Une fonction F(x,y) = 0 peut ensuite être posée de même comme égale à z, et ce z, bien que = 0, peut être différencié comme une variable dépendante ordinaire ; on peut obtenir son quotient différentiel partiel ¹².

Mais le néant de toute quantité déterminée est lui-même encore déterminé quantitativement et c’est seulement pour cela qu’il est possible d’opérer avec zéro. Ces mêmes mathématiciens qui opèrent sans aucune gêne avec zéro de la manière indiquée ci-dessus, c’est-à-dire qui opèrent avec lui comme avec une représentation quantitative déterminée, en le mettant dans des rapports quantitatifs avec d’autres représentations quantitatives, lèvent les bras au ciel quand ils lisent cela chez Hegel sous la forme générale suivante : le néant de quelque chose est un néant déterminé ¹³.

Passons maintenant à la géométrie (analytique). Ici zéro est un point déterminé à partir duquel on mesure sur une ligne les grandeurs positives dans un sens, les grandeurs négatives dans l’autre. Ici le point zéro a donc non seulement une importance tout aussi grande que tout autre point désigné par une indication de grandeur positive ou négative, mais il a même une importance bien plus grande qu’eux tous : il est le point dont ils dépendent tous, auquel ils se rapportent tous, qui les détermine tous. Il peut même, dans beaucoup de cas, être pris d’une manière tout à fait arbitraire. Mais, une fois choisi, il reste le centre de toute l’opération, il détermine même souvent le sens de la ligne sur laquelle les autres points — les extrémités des abscisses — doivent être portés. Si, par exemple, pour arriver à l’équation du cercle, nous choisissons comme point zéro un point quelconque de la circonférence, l’axe des abscisses doit passer par le centre du cercle ¹⁴. Cela s’applique tout aussi bien à la mécanique où également, dans le calcul des mouvements, le point zéro choisi dans chaque cas constitue le point principal et le pivot de toute l’opération. Le zéro du thermomètre est la limite inférieure bien déterminée du secteur de température qu’on a divisé en un nombre quelconque de degrés et qui sert ainsi à mesurer aussi bien des grandeurs de température dans ce secteur lui-même que les températures plus hautes ou plus basses. Il constitue donc ici aussi un point tout à fait essentiel. Et même le zéro absolu du thermomètre ne représente nullement une négation pure, abstraite, mais un état très déterminé de la matière : la limite où disparaît la dernière trace de mouvement indépendant des molécules et où la matière n’agit plus que comme masse ¹⁵. Partout où nous rencontrons le zéro, il représente donc quelque chose de bien déterminé, et son utilisation pratique en géométrie, mécanique, etc. prouve qu’il est — en tant que limite — plus important que toutes les grandeurs réelles qu’il limite ¹⁶.

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Puissances zéro ¹⁷. Leur importance dans la série logarithmique : . Toutes les variables passent en un point par l’unité ; donc aussi la constante d’une puissance variable (a^x) est égale à 1 quand x = 0. L’expression a⁰ = 1 ne signifie pas autre chose sinon que l’unité est prise dans sa liaison avec les autres termes de la série des puissances de a. C’est seulement dans ce cas que l’expression a un sens et peut conduire à des résultats  ¹⁸, mais autrement pas. Il s’ensuit que l’unité également, si identique à elle-même qu’elle paraisse, renferme en elle une infinie diversité puisqu’elle peut être la puissance zéro de tout autre nombre ; que cette diversité ne soit pas une diversité purement imaginaire, cela est démontré chaque fois que l’unité est conçue comme unité déterminée, comme un des résultats variables d’un processus (comme grandeur momentanée ou forme d’une variable) en liaison avec ce processus.

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. — Les grandeurs négatives de l’algèbre ne sont réelles que dans la mesure où elles se rapportent à des grandeurs positives, que dans les limites de leur rapport à celles-ci ; prises en elles-mêmes, en dehors de ce rapport, elles sont purement imaginaires. Dans la trigonométrie et dans la géométrie analytique, ainsi que dans les branches des mathématiques supérieures édifiées sur celles-ci, elles expriment un sens déterminé du mouvement qui est le contraire du sens positif. Mais on peut compter les sinus et les tangentes du cercle aussi bien à partir du quadrant supérieur droit que du quadrant inférieur gauche, et donc inverser directement le plus et le moins. De même dans la géométrie analytique, les abscisses peuvent être comptées dans le cercle soit à partir de la circonférence, soit à partir du centre et, d’une manière générale, dans toutes les courbes elles peuvent être comptées à partir de la courbe dans le sens ordinairement affecté du signe moins [ou] dans tout sens quelconque, et elles donnent cependant une équation rationnelle exacte de la courbe. Ici + n’existe que comme complément nécessaire de − et inversement. Mais l’abstraction de l’algèbre traite [les grandeurs négatives] comme des grandeurs positives réelles, comme des grandeurs indépendantes, [ayant un sens] même en dehors du rapport à une grandeur positive plus grande ¹⁹.

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Mathématiques ²⁰. Pour le sens commun, il apparaît stupide de développer une grandeur déterminée, un binôme par exemple, en une série infinie, donc en quelque chose d’indéterminé. Mais où en serions-nous sans les séries infinies ou le théorème du binôme ?

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Asymptotes ²¹. La géométrie commence par la découverte que droit et courbe sont des oppositions absolues, qu’il est totalement impossible d’exprimer, de mesurer le droit par le courbe et le courbe par le droit. Et pourtant le calcul du cercle lui-même n’est possible que si l’on exprime son périmètre sous forme de lignes droites. Or, dans les courbes asymptotiques, le droit se perd complètement dans le courbe et le courbe dans le droit, tout autant que la représentation du parallélisme : les lignes ne sont pas parallèles, elles se rapprochent sans cesse l’une de l’autre et pourtant ne coïncident jamais. La branche de la courbe devient de plus en plus droite, sans jamais le devenir jamais entièrement, de même qu’en géométrie analytique la ligne droite est considérée comme la courbe du premier degré avec une courbure infiniment petite. Le − x de la courbe logarithmique ²² peut toujours grandir, y ne peut jamais devenir = 0.

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Droit et courbe ²³sont posés dans le calcul différentiel ²⁴ comme identiques en dernière analyse. Dans le triangle différentiel, dont l’hypoténuse constitue la différentielle de l’arc (dans la méthode des tangentes), cette hypoténuse peut être considérée « comme une petite ligne droite qui est tout à la fois l’élément de l’arc et celui de la tangente » — que l’on considère la courbe comme composée d’un nombre infini de droites, ou « qu’on la considère comme rigoureuse ; puisque le détour à chaque point M étant infiniment petit, la raison dernière de l’élément de la courbe à celui de la tangente est évidemment une raison d’égalité ²⁵. » Donc ici le rapport tend sans cesse vers l’égalité, mais il y tend, selon la nature de la courbe, d’une manière asymptotique. Néanmoins, comme le contact se limite à un point qui n’a pas d’épaisseur, on admet donc, en fin de compte, que l’identité de droit et de courbe est atteinte. Bossut : Calcul diff. et intégr. Paris, an VI, I, p. 149. Dans des courbes, polaires ²⁶, on suppose même que l’abscisse différentielle imaginaire est parallèle à l’abscisse réelle et on opère sur cette base, bien que toutes deux se rencontrent au pôle ; on en conclut même à la similitude des deux triangles, dont l’un a précisément un angle au point d’intersection des deux lignes sur le parallélisme desquelles est fondée toute la similitude (fig. 17) ²⁷.

Lorsque la mathématique du droit et du courbe est à peu près épuisée, une nouvelle voie presque infinie est ouverte par la mathématique qui conçoit le courbe comme droit (triangle différentiel) et le droit comme courbe (courbe du premier degré à courbure infiniment petite). O métaphysique !

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Trigonométrie ²⁸. Une fois que la géométrie synthétique a épuisé les propriétés d’un triangle, pour autant qu’elles sont considérées en elles-mêmes, et qu’elle n’a plus rien à dire, un horizon plus vaste s’ouvre grâce à un procédé très simple, absolument dialectique. Le triangle n’est plus considéré en soi et pour soi, mais en liaison avec une autre figure : le cercle. Tout triangle rectangle peut être considéré comme appartenant à un cercle si l’hypoténuse = r, les côtés de l’angle droit sont alors sin et cos si un côté de l’angle droit = r, l’autre = tg, l’hypoténuse = sec. Par là, les côtés et les angles entrent dans des relations déterminées toutes différentes à l’égard les unes des autres, relations qu’il serait impossible de découvrir et d’utiliser sans ce rapport du triangle au cercle et l’on voit se développer une nouvelle théorie du triangle qui dépasse de loin l’ancienne et est applicable partout, parce que tout triangle peut être résolu en deux triangles rectangles, Ce développement de la trigonométrie à partir de la géométrie synthétique est un bon exemple pour illustrer la dialectique, qui saisit les choses dans leur liaison réciproque au lieu de les saisir dans leur isolement.

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Identité et différence. — Le rapport dialectique est déjà dans le calcul différentiel où dx est infiniment petit, mais cependant efficace et fait tout ²⁹.

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Molécule et différentielle ³⁰. Wiedemann (III, p. 636) ³¹ oppose directement l’une à l’autre distance finie et distance moléculaire.

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Sur les prototypes de l’infini mathématique dans le monde réel ³²

À propos des pages 17-18 ³³. Accord de la pensée et de l’être. L’infini en mathématiques.

Le fait que notre pensée subjective et le monde objectif sont soumis aux mêmes lois et que, par suite, tous deux, dans leurs résultats, ne peuvent pas en fin de compte se contredire, mais doivent forcément s’accorder, domine absolument notre pensée théorique dans sa totalité. Il est sa condition inconsciente et inconditionnelle. En raison de son caractère essentiellement métaphysique, le matérialisme du 18^e siècle n’a étudié cette condition que dans son contenu. Il s’est borné à démontrer que le contenu de toute pensée et savoir doit procéder de l’expérience sensible et il a rétabli le principe : nihil est in intellectu, quod non fuerit in sensu ³⁴. C’est seulement la philosophie moderne idéaliste, mais en même temps dialectique, et surtout Hegel, qui l’a étudié également dans sa forme. Malgré les constructions et les fantaisies arbitraires sans nombre que nous rencontrons ici ; malgré la forme idéaliste, mise sur la tête, que prend le résultat de cette philosophie : l’unité de la pensée et de l’être, il est indéniable qu’elle a démontré, dans une foule de cas et dans les domaines les plus divers, l’analogie des processus de la pensée avec les processus de la nature et de l’histoire et inversement, et la validité de lois identiques pour tous ces processus. D’autre part, la science moderne de la nature a élargi le principe de l’origine empirique de tout contenu de pensée d’une manière qui jette par-dessus bord la vieille étroitesse et la vieille formulation métaphysiques de ce principe. En reconnaissant l’hérédité des qualités acquises, la science élargit le sujet de l’expérience de l’individu au genre ; ce n’est plus nécessairement l’individu singulier qui doit avoir fait l’expérience, son expérience singulière peut, dans une certaine mesure, être remplacée par les résultats des expériences d’une série de ses ancêtres. Si chez nous, par exemple, les axiomes mathématiques paraissent à tout enfant de huit ans être évidents et faire l’économie de la preuve expérimentale, c’est là uniquement le résultat de l’ « hérédité accumulée ». Ils seraient difficiles à faire admettre par démonstration à un Boschiman ou à un Nègre australien.

Dans le présent ouvrage ³⁵, la dialectique a été conçue comme la science des lois les plus universelles de tout mouvement. Cela inclut que ses lois doivent être valables aussi bien pour le mouvement dans la nature et dans l’histoire humaine que pour le mouvement de la pensée. Une telle loi peut être reconnue dans deux de ces trois sphères et même dans toutes trois, sans que ce routinier de métaphysicien se rende compte que c’est une seule et même loi qu’il a reconnue.

Prenons un exemple. De tous les progrès théoriques, aucun ne passe sans doute pour un triomphe aussi élevé de l’esprit humain que l’invention du calcul infinitésimal dans la deuxième moitié du 17^e siècle. Plus que n’importe où, nous avons là un exploit pur et exclusif de l’esprit humain. Le mystère qui entoure, aujourd’hui encore, les grandeurs employées dans le calcul infinitésimal, différentielles et infinis de différents degrés est la meilleure preuve de la persistance de cette illusion qu’on a ici affaire à de pures « créations et imaginations libres » ³⁶ de l’esprit humain, auxquelles rien ne répondrait dans le monde objectif. Et c’est pourtant le contraire qui est vrai. Pour toutes ces grandeurs imaginaires, la nature offre les modèles.

Notre géométrie part de relations spatiales, notre arithmétique et notre algèbre partent de grandeurs numériques, qui correspondent à nos conditions terrestres, qui correspondent donc aux grandeurs corporelles que la mécanique appelle des masses — masses telles qu’on les trouve sur terre et qu’elles sont mises en mouvement par les hommes. Par rapport à ces masses, la masse de la terre apparaît infiniment grande, et elle est aussi traitée comme infiniment grande par la mécanique terrestre. Rayon de la terre = ∞, principe fondamental de toute mécanique dans la loi de la chute des corps. Pourtant non seulement la terre, mais aussi tout le système solaire et les distances qu’on y rencontre apparaissent à leur tour comme infiniment petits dès que nous nous occupons du système stellaire visible pour nous au télescope avec ses distances qu’il faut estimer en années-lumière. Nous avons donc ici déjà un infini non seulement du premier, mais du deuxième ordre, et nous pouvons laisser à l’imagination de nos lecteurs le soin de se construire encore d’autres infinis d’ordres plus élevés dans l’infinité de l’espace, s’ils en ressentent l’envie.

Or les masses terrestres, les corps avec lesquels la mécanique opère, se composent, d’après l’opinion qui prévaut aujourd’hui en physique et en chimie, de molécules, particules très petites, qui ne peuvent continuer à être divisées sans qu’on supprime l’identité physique et chimique du corps en question. D’après les calculs de W. Thomson, le diamètre de la plus petite de ces molécules ne peut pas être inférieur à 1 / 50 000 000 de millimètre ³⁷. Mais admettons également que la molécule la plus grosse elle-même atteigne un diamètre de 1 / 25 000 000 de millimètre ; cela reste encore une grandeur infiniment petite par rapport à la masse la plus petite avec laquelle opèrent la mécanique, la physique et même la chimie. Cependant elle est douée de toutes les qualités propres à la masse en question, elle peut représenter la masse physiquement et chimiquement et la représente réellement dans toutes les équations chimiques. Bref, elle a exactement les mêmes propriétés vis-à-vis de la masse en question que la différentielle mathématique vis-à-vis de ses variables. À cela près que ce qui, dans la différentielle, dans l’abstraction mathématique, nous apparaît mystérieux et inexplicable, devient ici évident, et pour ainsi dire apparent.

Avec ces différentielles que sont les molécules, la nature opère exactement de la même manière et selon les mêmes lois que les mathématiques avec leurs différentielles abstraites. Voici, par exemple, la différentielle de x³ = 3 x²dx, dans laquelle 3 xdx² et dx³ sont négligés. Si nous faisons construction géométrique, nous avons un cube de côté x, lequel côté est augmenté de la grandeur infiniment petite dx. Admettons que ce cube soit fait d’un corps chimique qui peut facilement se sublimer, disons le soufre ; les trois faces adjacentes à un sommet sont protégées, les trois autres sont libres. Si nous exposons ce cube de soufre à une atmosphère de vapeur de soufre et que nous abaissions suffisamment la température de celle-ci, il se déposera de la vapeur de soufre sur les trois faces libres du cube. Nous restons tout à fait dans le cadre des procédés courants en physique et en chimie si nous admettons, pour nous représenter le phénomène dans sa pureté, que sur chacune de ces trois faces il se dépose d’abord une couche de l’épaisseur d’une molécule. Le côté x du cube s’est donc augmenté du diamètre d’une molécule, dx. Le volume du cube x³ a grandi de la différence entre x³ et (x³ + 3 x²dx) + 3 xdx² + dx², formule dans laquelle nous avons autant le droit qu’en mathématiques de négliger dx³, une molécule, et 3 xdx², trois rangées de molécules simplement alignées l’une contre l’autre de longueur x + dx. Le résultat est le même : la croissance du volume du cube est 3 x²dx.

À y regarder de près, on ne rencontre sur le cube de soufre ni dx³ ni 3 xdx², parce qu’il ne peut pas y avoir en un même lieu de l’espace deux ou trois molécules, et son augmentation de volume est donc exactement 3 x²dx + 3 xdx + dx. Cela s’explique par le fait qu’en mathématiques dx est une grandeur linéaire, mais, comme on le sait, ce genre de ligne sans épaisseur ni largeur ne se rencontre pas par lui-même dans la nature, donc les abstractions mathématiques n’ont une validité absolue que dans les mathématiques pures. Et, comme on néglige également ces 3 xdx² + dx³, cela ne fait aucune différence.

Il en va de même dans l’évaporation. Si, dans un verre d’eau., la couche supérieure de molécules s’évapore, la hauteur de la couche d’eau x a diminué de dx, et la volatilisation continuelle d’une couche moléculaire après l’autre est effectivement une différenciation continuée. Et si la vapeur chaude est de nouveau condensée en eau dans un récipient par pression et refroidissement et qu’une couche moléculaire se dépose sur l’autre (nous pouvons faire abstraction des circonstances accessoires qui ôtent au phénomène sa pureté), jusqu’à ce que le récipient soit plein, nous avons eu ici littéralement une intégration qui ne se distingue de l’intégration mathématique que du fait que l’une est accomplie consciemment par le cerveau de l’homme et l’autre inconsciemment par la nature.

Mais ce n’est pas seulement lors du passage de l’état liquide à l’état gazeux et inversement que se présentent des processus parfaitement analogues à ceux du calcul infinitésimal. Quand le mouvement des masses est supprimé en tant que tel — par choc — et transformé en chaleur, en mouvement moléculaire, que s’est-il passé d’autre sinon que le mouvement des masses a été différencié ? Et lorsque les mouvement moléculaires de la vapeur dans le cylindre de la machine à vapeur ont pour résultat total de soulever le piston d’une quantité déterminée, de se changer en mouvement des masses, n’ont-ils pas été intégrés ? La chimie décompose les molécules en atomes, grandeurs d’une masse et d’une extension spatiale plus faibles, mais grandeurs du même ordre, de sorte que les unes et les autres sont réciproquement dans des relations finies déterminées. L’ensemble des équations chimiques qui expriment la composition moléculaire des corps sont donc par leur forme des équations différentielles. Mais, en réalité, elles sont déjà intégrées du fait des poids atomiques qui y figurent. C’est avec des différentielles, dont le rapport réciproque de grandeur est connu, que la chimie calcule

Les atomes ne passent nullement pour simples ou, en général, pour les plus petites particules de matière connues. Abstraction faite de la chimie elle-même, penchant de plus en plus vers l’opinion que les atomes sont composés, la majorité des physiciens affirme que l’éther universel qui transmet une radiation lumineuse et calorique est composé pareillement de particules discrètes, mais qui sont si petites qu’elles sont aux atomes chimiques et aux molécules physiques comme celles-ci sont aux masses mécaniques, donc comme d²x à dx. Nous avons donc également ici, dans la conception maintenant courante de la constitution de la matière, la différentielle du deuxième ordre et il n’y a absolument aucune raison pour que celui à qui la chose fait plaisir ne puisse concevoir qu’il existe aussi dans la nature des analogues de d³x, d⁴x, etc.

Quelque idée qu’on se fasse donc de la constitution de la matière, il est en tout cas certain qu’elle est articulée en une série de grands groupes bien délimités de masse relative, en sorte que les membres de chaque groupe ont entre eux, quant à la masse, des rapports finis déterminés, mais sont à l’égard de ceux du groupe le plus voisin comme l’infiniment grand ou l’infiniment petit au sens des mathématiques. Le système stellaire visible, le système solaire, les masses terrestres, les molécules et les atomes, enfin les particules d’éther constituent chacun, un de ces groupes. Cela ne change rien à la chose que nous trouvions des chaînons intermédiaires entre certains groupes. Ainsi, entre les masses du système solaire et les masses terrestres, les astéroïdes, dont quelques-uns n’ont pas un diamètre plus grand que disons le duché de Reuss branche cadette, les météores, etc. Ainsi, entre les masses terrestres et les molécules, la cellule dans le monde organique. Ces chaînons intermédiaires ne prouvent qu’une chose : s’il n’y a pas de bonds dans la nature, c’est précisément parce que la nature ne se compose que de bonds.

Tant que les mathématiques calculent avec des grandeurs réelles, elles appliquent cette conception sans autre forme de procès. Pour la mécanique terrestre, la masse de la terre est déjà l’infiniment grand ; de même qu’en astronomie les masses terrestres et les météores qui y correspondent sont l’infiniment petit, de même les distances et les masses planétaires du système solaire disparaissent pour elle dès que, au delà des étoiles fixes les plus proches, elle étudie la constitution de notre système stellaire. Mais, dès que les mathématiciens se retirent dans leur citadelle imprenable de l’abstraction, ce qu’on appelle la mathématique pure, toutes ces analogies sont oubliées, l’infini devient quelque chose de totalement mystérieux et la manière dont on s’en sert en analyse apparaît comme quelque chose de purement inconcevable, qui contredit toute expérience et toute raison. Les folies et les absurdités avec lesquelles les mathématiciens ont plutôt excusé qu’expliqué cette méthode qui est la leur et qui, chose curieuse, conduit toujours à des résultats justes, surpassent les pires fantaisies apparentes et réelles de la Philosophie de la nature de Hegel par exemple, au sujet desquelles les mathématiciens et les savants ne sauraient exprimer assez d’horreur. Ce qu’ils reprochent à Hegel, de pousser les abstractions à leur comble, ils le font eux-mêmes à une bien plus large échelle. Ils oublient que tout ce qu’on nomme mathématiques pures s’occupe d’abstractions, que toutes leurs grandeurs, rigoureusement parlant, sont des grandeurs imaginaires et que toutes les abstractions poussées à leur comble se convertissent en absurdité, en leur contraire. L’infini mathématique est emprunté à la réalité, même si c’est inconsciemment, et c’est pourquoi il ne peut être expliqué que par la réalité et non par lui-même, par l’abstraction mathématique. Et si nous étudions la réalité sur ce point, nous trouvons aussi, comme nous l’avons vu, les relations réelles auxquelles est emprunté le rapport d’infini mathématique, et même les analogues naturels de la façon mathématique de faire agir ce rapport. Voilà donc la chose expliquée ³⁸.

(Mauvaise reproduction chez Haeckel ³⁹ de l’identité de la pensée et de l’être. Et aussi la contradiction de matière continue et discrète ⁴⁰voir chez Hegel ⁴¹.)

C’est seulement le calcul différentiel qui permet à la science de la nature de représenter mathématiquement des processus et non des états seulement : mouvement ⁴².

Application des mathématiques : absolue dans la mécanique des corps solides, approximative dans celle des gaz, déjà plus difficile dans celle des liquides — plutôt tentée et relative en physique — en chimie, simples équations du premier degré de la nature la plus élémentaire — en biologie = 0 ⁴³.