Dominique Meeùs
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Convergence en topologie généralisée
Dominique Meeùs
Louvain. 1965

Table of contents

Avertissement (2015)

Ce texte étant plus vieux que les ordinateurs personnels, on ne le trouve que sur papier et, comme on peut s’en convaincre au premier coup d’œil, en faire une édition digitale ne serait pas une mince affaire. Je le donne donc ici en facsimilé, précédé de la table des matières et de l’introduction, et suivi de la bibliographie (qui ne posent pas de grands problèmes de reconnaissance de caractères et d’édition). Parce qu’il comportait aussi un peu moins de difficultés, j’ai digitalisé et édité encore le paragraphe 4 du chapitre 3 qui situe un peu le travail par rapport à la littérature existante en indiquant ce qui est nouveau. J’ai compilé un index des notions et un index des auteurs mentionnés dans le texte, qui n’existaient pas en 1965.

Le document original fait 164 pages (reprises dans le facsimilé en DjVu), page de titre, pages i à v, pages 1 à 156, dont, par accident de dactylographie, deux pages 8 et deux pages 31. Le papier est de 20,8 × 26,9 cm, format classique pour l’époque. (Les papetiers n’avaient pas encore compris la supériorité du facteur √2.) Dans le DjVu, j’ai un peu diminué les marges. La zone reprise est de 18,12 × 24,83 cm.

J’ai rédigé la présente page en juin-juillet 2015 (tiens ! c’est le cinquantième anniversaire du document) et j’ai refait le DjVu. Dans le DjVu, j’ai quand même créé une couche texte. Les écritures mathématiques ne seront bien sûr pas bien rendues, mais on pourrait copier le texte de quelques phrases. J’ai écrit une note sur la technique pour scanner en vue d’un DjVu, y compris la reconnaissance de texte. La source en TEI XML de la présente page est convergence.xml.

Table des matières

Les numéros de page sont ceux qui apparaissent en haut de la page imprimée ; ce ne sont pas les numéros de page du fichier DjVu.

Introduction

Notre intention centrale était d’édifier une théorie générale de la convergence, généralisant la convergence des bases de filtre, et d’y greffer une convergence des fonctions de manière à retrouver les résultats de Mahlon M. Day sur ce sujet. Plus précisément, il s’agissait d’étudier les relations d’une notion de convergence avec les notions de voisinages, d’intérieur et d’adhérence de la topologie, mais privées de certains de leurs axiomes. Nous avons été amenés alors à définir sur la base de ces notions des espaces plus généraux que les espaces topologiques et a étudier leur structure. Nous avons ensuite étudié la possibilité d’utiliser d’autres concepts initiaux : l’ensemble dérivé et les ouverts, arrivant ainsi, sans pour autant utiliser tous les axiomes habituels, à organiser presque tout l’arsenal des concepts de base avec les définitions et les relations qui les lient l’un à l’autre en topologie.

Nous tenons à remercier ici Monsieur Jacques Boël qui nous a aidé de ses conseils tout au long de ce travail et qui en particulier nous à encourage a définir et à étudier les produits et les quotients des structures que nous avions décrites.

Facsimilé du texte du mémoire de 1965

On peut télécharger le texte de 1965 comme convergence.djvu. Je sais pas si le serveur de mon site web permet de lire en ligne un fichier de cette taille (1,7 Mo), même si votre navigateur supporte le DjVu 1. Vous pouvez cliquer le lien pour essayer ; vous verrez bien ce que ça donne.

§ 4. Remarques bibliographiques

Les espaces pₒ-topologiques apparaissent dans Appert [1] sous le nom d’espaces topologiques avec comme concept initial la dérivation. On pourrait bien sûr citer Fréchet et Riesz à ce propos. On trouvera, dans Appert [1] toujours, les espaces mpₒ-topologiques sous le nom d’espaces (𝓥) (dus à Fréchet) avec comme second concept initial les voisinages ou plus précisément les systèmes fondamentaux de voisinages. La fonction d’adhérence est introduite par Appert en tant que nouveau concept initial pour les espaces pₒ-topologiques dans Appert [2].

L’axiome (m) relatif à la dérivation est la 2e condition de Riesz. L’axiome (i) relatif a l’adhérence, dans un espace mpₒ-topologique, est la condition α) de Appert sur les espaces (𝓥). La notion d’intérieur que nous avons adoptée est celle qui apparaît dans Appert [2].

Concernant les espaces general-topologiques et m-topologiques, nous n’avons eu connaissance au départ que des résultats de Day sur la convergence en relation avec l’adhérence et les voisinages (voir paragraphe 2-5). Nous avons trouvé ensuite dans Appert [3] les relations entre intérieur, adhérence, dérivé et voisinage dans les espaces general-topologiques (et p-topologiques pour la dérivation) ainsi qu’une notion de continuité dans ces espaces. Nous allons, sur deux points particuliers de cet article, entrer dans plus de détail.

Entourages et voisinages

Soit E un ensemble et a une application : 𝓟(E) → 𝓟(E) qui sera appelée fermeture dans Appert [3]. Appert appelle intérieur de l’ensemble X l’ensemble ~a~X et entourages de x les ensembles auxquels x est intérieur.

Ces entourages sont donc ce que nous avons appelé les voisinages de l’espace general-topologique dont a est la fonction d’adhérence. Appert appelle alors famille de voisinages de x toute famille 𝓕 telle que x ∈ aX ⇔ X ∈ G𝓕.

Nous appellerons A-voisinages de x les éléments de toute famille de voisinages de x au sens de Appert. Il existe une famille 𝓕 de A-voisinages pour le point x si et seulement si la famille 𝓔(x) de tous les entourages du point x est antihéréditaire et dans ce cas 𝓔(x) = F𝓕. Une famille de A-voisinages de x correspond donc à ce que nous avons appelé, dans le cas d‘un espace m-topologique, un système fondamental de voisinage de x. L’axiome (m) devient chez Appert : pour chaque point x de E, il existe une famille de A-voisinages de x. Appert montre aussi que ceci est équivalent à supposer a monotone.

Continuité entre espaces general-topologiques

Appert définit la continuité d’une application f : E → E′ à partir des entourages de la manière suivante : quels que soient le point x et l’entourage V′ de f(x), il existe un entourage V de x tel que y ∈ V ⇒ f(y) ∈ V′. On a ainsi V ⊆ f−1V’ et finalement la continuité au sens de Appert devient pour des espaces general-topologiques (E,𝓥) et (E′,𝓥′), ∀x ∈ E, f−1𝓥(f(x)) ⊆ F𝓥(x), soit encore, par le théoreme 2-3.6, f est continue : (E,F𝓥) et (E′,F𝓥′). La continuité au sens de Appert est donc la continuité entre espaces m-topologiques associés.

Ainsi tout le paragraphe 1-1 est couvert par Appert [3] sauf peut-être en ce qui concerne l’usage explicite des voisinages (ou entourages) comme concept initial. Au contraire, comme nous venons de le voir, notre définition de la continuité paraît nouvelle et nouveau par conséquent tout le paragraphe 1-2 ainsi que le paragraphe 3-1 à partir de la section sur la continuité.

La notion de continuité que nous avons adoptée se confond avec celle de Appert à partir des espaces m-topologiques et elle était bien connue pour les espaces mpₒ-topologiques (espaces (𝓥)).

Les définitions de general-topologies projective et quotient et les résultats qui s’y rapportent sont nouveaux à notre connaissance. En fait nous n’avons pu retrouver dans la littérature que la définition de la mpₒ-topologie quotient et le théorème correspondant à 1-2.16 ainsi que la définition de la mpₒ-topologie projective et le théorème correspondant à 1-2.11 dans le cas particulier on l’on dispose d’une seule application f d’un ensemble dans un espace mpₒ-topologique (Mamuzić [2]). Nous n’avons pu consulter Mamuzić [4] mais on peut déduire du titre que Mamuzic annonce des résultats sur les produits d’espaces (𝓥).

Pour les espaces mpₒ-topologiques et les espaces plus particuliers nous renvoyons à Sierpinski [2] , Appert & Ky Fan [1]. Citons aussi Mamuzić [1] et [3] qui sont sur le même sujet, sauf erreur de notre part (nous n’avons pu les consulter).

Citons encore ici deux généralisations qui ne peuvent s’intégrer dans la ligne que nous avons suivie.

Abian généralise les ouverts de la topologie en une famille quelconque de sous-ensembles, définit une convergence et définit à partir de celle-ci une notion de continuité. Dans le cas d’un espace topologique, le seul système convergeant vers x serait la base de filtre de tous les ouverts contenant x — sauf erreur de notre part, l’article, très bref, ne donnant que des définitions.

Hammer part d’une application quelconque f : 𝓟(E) → 𝓟(E). Il y associe après plusieurs étapes une notion de dérivation et, de là, une notion de continuité. La théorie qu’il construit garde peu de ressemblance avec la topologie habituelle mais permet cependant de définir, comme cas particulier, la continuité entre espaces mpi-topologiques.

Appendix A Bibliographie

Smbat Abian

[1] « A general definition of convergence, continuity, differentiability and integrability », Math. Ann. 134 (1957) 95-94.

Antoine Appert

[1] Propriétés des espaces abstraits les plus généraux, Actualités sci. indus. 145 et 146, Hermann, Paris, 1954.

[2] « Sur quelques notions susceptibles d’êtres prises comme terme primitif dans la théorie des espaces abstraits », Mathematica 11 (1935), 229-246.

[3] « Sur l’équivalence de diverses définitions de la continuité dans les espaces topologiques généraux, et sur l’axiomatique de ces espaces », Rend. Circ. mat. Palermo (2) 10 (1961) 353-546.

Antoine Appert et Ky Fan.

[1] Espaces topologiques intermédiaires, Actualités sci. indus. 1121, Hermann, Paris, 1951.

Márton Balázs, D. Borşan, Micheline Froda-Schechter et Peter Hamburg

[1] « Relations entre parties d’ensembles », Rev. Math. pures et appl. 7 (1962).

[2] « Operatori in multimi de parti » (en roumain, résumés russe et français). Acad. R.P. Romine. Stud. cerc. mat. 13 (1962) 115-125.

A. A. Bennet

[1] « Generalized convergence with binary relations », Amer. Math. Monthly 52(1925) 131-134.

Garrett Birkhoff

[1] « A new definition of limit », Bull. Amer. Math. soc. 41 (1935) p. 656 (abstract. no 355).

[2] « Moore-Smith convergence in general topology », Ann. of Math. (2) 38 (1937) 39-56.

Nicolas Bourbaki

[1] « Structures topologiques », chap. 2 de Topologie générale, Actualités sci. indus. 1142, Hermann, Paris, 1951 (1re édition : Actualités sci. indus. 858, 1940).

Henri Cartan

[1] « Théorie des filtres », C.R. Acad. Sci. Paris 205 (1937) 595-598.

[2] « Filtres et ultrafiltres », C.R. Acad. Sci. Paris 205 (1937) 777-779.

Gustave Choquet

[1] « Convergences », Ann. Univ. Grenoble 23 (1947-1948) 57-112.

Ákos Császár

[1] Fondements de la topologie générale, Budapest, 1960.

[2] Foundations of general topology, Pergamon Press, New York, 1963.

Mahlon M. Day

[1] « Ordered sets and closures », Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940) 748.

[2] « Convergence, closure and neighborhoods »,Duke Math. J. 11 (1944) 181-199.

Doicin Doicinov

[1] « A unified theory of topological spaces, proximity spaces and uniform spaces », Soviet Math. 5 (1964) 595-598.

R. M. Dudley

[1] « Sequential convergence », Trans. Amer. Math. Soc. 112 (1964) 483-507.

H. R. Fischer

[1] « Limersräume », Math. Ann. 157(1959) 269-303.

Maurice Fréchet

[1] « Sur quelques points du calcul fonctionnel », Rend. Circ. mat. Palermo 22 (1906) 1-74.

[2] « Sur la notion de voisinage dans les ensembles abstraits », Bull. Sci. Math. 42 (1918) 138-156.

[3] « Sur les ensembles abstraits », Ann. Ec. Norm. 38 (1921) 341-585.

[4] Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l’Analyse générale, Paris, 1926 (1928, 1951).

Preston C. Hammer

[1] « General topology, symmetry and convexity », Trans. Wisconsin Acad. Sci. Arts Letters 44 (1955) 221-225.

Klaus Harbarth

[1] « über die Äquivalenz verschiedener Axiomensysteme für Limesräume », Math. Nachr. 17 (1959) 261-272.

John L. Kelley

[1] « Convergence in topology », Duke Math. J. 17(1950) 277-285.

[2] General topology, The University series in higher math., Princeton, 1955.

[3] « Moore-Smith convergence », chap. 2 de KELLEY [2].

H. Kenyon et A. P. Morse

[1] « Runs », Pacific J. Math. 8 (1958) 811-824.

Casimir Kuratowski

[1] « Topologie I », Monografje mat. 3, Warszawa, 1933 (1948, 1952, 1958).

Zlatko P. Mamuzić

[1] « Uvod u opstu topologiju. Prvi deo », Matematicka Bibl. 17, Beogradu, 1960.

[2] « Quelques remarques sur les applications continues des espaces de voisinages », Publ.Inat. Math. Serbia 5 (1963) 131-137.

[3] Introduction to general topology, Groningen, 1963.

[4] « Neighborhood product and quotient spaces. Preliminary report », Amer. Math. Soo. Not. 11 (1964) 115.

A. Monteiro

[1] « Sur les ensembles de fermés », Portug. Math. 2 (1941) 581.

E. H. Moore et H. L. Smith

[1] « A general theory of limits », Amer.J.Math. 44 (1922) 102-121.

Hugo Baptista Ribeiro

[1] « Une extension de la notion de convergence », Portug. Math. 2 (1941) 155-161.

F. Riesz

[1] « Stetigkeitsbegriff und abstrackte Mengenlehre », Atti del 4 Congr. Intern. Mat. Roma 2 (1910).

Vera Sediva

[1] « Some examples of topological spaces in which the axiom F does not hold » (Czech, Russian and English summaries), Casopis Pest. Mat. 84 (1959) 461-466.

W. Sierpinski

[1] « La notion de dérivée comme base d’une théorie des ensembles abstraits », Math. Ann. 97 (1926) 321-357.

[2] General topology, Math. expositions 7, Toronto, 1952.

H.L. Smith

[1] « A general theory of limits », Nat, Math. Mag. 12 (1938) 371-379.

J. W. Tukey

[1] « Convergence and uniformity in topology », Ann. of Math. Studies 2 (1940).

Paul Urysohn

[1] « Sur les classes (ℒ) de M. Fréchet », Ens. Math. 25 (1926) 77-83.

Appendix B Index des noms cités dans le texte (2015)

La liste est ordonnée dans l’ordre alphabétique des noms de famille. Je ne reprends pas les simples renvois à des ouvrages de référence en topologie générale (au sens habituel, comme KELLEY [2] ou BOURBAKI [1]).

Les numéros sont ceux qui apparaissent en haut de la page imprimée ; ce sont donc ceux qu’on peut voir à l’écran en DjVu, mais ce ne sont pas les numéros de page du fichier DjVu.

Appendix B.1

  • Smbat Abian → 151
  • Antoine Appert → 8, 148, 149, 150
  • Márton Bálazs → 35
  • A. A. Bennet → 113
  • Garrett Birkhoff → 110, 113
  • Jacques Boël → i
  • D. Borsan → 35
  • Henri Cartan → 113
  • Gustave Choquet → 113
  • Mahlon M. Day → 89, 111, 112, 148
  • R. M. Dudley → 110
  • H. R. Fischer → 113
  • Maurice Fréchet → 110, 111, 148
  • Micheline Froda-Schechter → 35
  • Peter Hamburg → 35
  • Preston C. Hammer → 151
  • Klaus Harbarth → 113
  • John L. Kelley → 106, 112
  • H. Kenyon → 113
  • Casimir Kuratowski → 110
  • Ky Fan → 150
  • Zlatko P. Mamuzić → 150
  • E. H. Moore → 110
  • A. P. Morse → 113
  • Hugo Baptista Ribeiro → 105, 111
  • F. Riesz → 148
  • W. Sierpinski → 150
  • H. L. Smith → 110
  • J. W. Tukey → 110, 111
  • Paul Urysohn → 110

Appendix C Index des notions définies dans le texte (2015)

Les numéros sont ceux qui apparaissent en haut de la page imprimée ; ce sont donc ceux qu’on peut voir à l’écran en DjVu, mais ce ne sont pas les numéros de page du fichier DjVu.

Appendix C.1

  • accumulation, point d’ — → 115
  • adhérence → 5
  • anticompatible, application → 71
  • antihéréditaire, fermeture → 31, 37
  • antisymétrique, relation → 91
  • antisymétrique, ensemble de parties → 92
  • application anticompatible → 71
  • application compatible → 27
  • application continue → 9
  • application fermée → 10
  • application ouverte → 10
  • associée, m-topologie → 59
  • associée, mpi-topologie → 144
  • associée, p-topologie → 123
  • A-voisinage → 149
  • axiome (i) → 134
  • axiome (m) → 39
  • axiome (m) relatif à la dérivation → 129
  • axiome (ₒ) → 8bis
  • axiome (p) → 115
  • axiome (p) relatif à la convergence → 129
  • base d’un l-cylindre → 20
  • base locale d’une m-topologie → 57
  • binaire, relation → 76
  • bloquée, relation → 88
  • catégorie des espaces general-topologiques → 63
  • catégorie des espaces m-topologiques → 65
  • catégorie des quasi-ordres → 82
  • catégorie des relations transitives → 82
  • cofinale, partie → 89
  • compatible, application → 27
  • compatible, relation → 30
  • composé de morphismes → 63
  • continue, application → 9
  • convergence des fonctions orientées → 105
  • convergence des systèmes rares → 43
  • convergence d’une application selon un système rare → 93, 103
  • convergence, domaine représentatif → 95
  • convergence propre → 128
  • convergence selon un quasi-ordonateur rare → 105
  • dégressive, fonction d’intérieur → 114
  • dérivation → 115
  • dérivé, ensemble → 115
  • dirigé, système → 110
  • domaine représentatif de la convergence → 95
  • ensemble dérivé → 115
  • entourage → 149
  • espace general-topologique → 4
  • espace gₒ-topologique → 9
  • espace m-topologique → 40
  • espace mp-topologique → 129
  • espace mpi-topologique → 136
  • espace p-topologique → 115
  • fermé → 8
  • fermée, application → 10
  • fermeture antihéréditaire → 31, 37
  • fermeture réflexive, d’une relation → 79
  • fin, quasi-ordonateur plus — → 91
  • finale, partie → 77
  • finalement dans, fonction → 106
  • fine, general-topologie plus — → 13
  • fine, relation plus — → 90
  • fonction d’adhérence → 4
  • fonction de voisinage → 4
  • fonction d’intérieur → 4
  • fonction orientée → 106
  • fréquemment dans, fonction → 106
  • general-topologie → 4
  • general-topologie induite → 16
  • general-topologie produit → 20
  • general-topologie projective → 19
  • general-topologie quotient par une application → 24
  • general-topologie quotient par une relation → 29
  • general-topologique, espace → 4
  • gₒ-topologique, espace → 9
  • héréditaire → 32
  • homéomorphisme → 10
  • impropre, l-cylindre → 20
  • induite, general-topologie → 16
  • induite, m-topologie → 55
  • induite, mp-topologie → 131
  • induite, mpi-topologie → 142
  • induite, p-topologie → 122
  • intérieur → 5
  • intérieur héréditaire → 33
  • l-cylindre → 20
  • l-cylindre, base → 20
  • l-cylindre impropre → 20
  • l-cylindre, base → 20
  • limite, point → 43, 93, 105
  • locale, base — d’une m-topologie → 57
  • morphisme composable → 81
  • morphisme composé → 63
  • morphisme de quasi-ordres → 82
  • morphisme de relations transitives → 81
  • morphisme d’espaces general-topologiques → 62
  • morphisme d’espaces m-topologiques → 65
  • morphisme neutre → 64
  • m-topologie associée à une general-topologie → 59
  • m-topologie induite → 55
  • m-topologie produit → 68
  • m-topologie projective → 67
  • m-topologie quotient → 71
  • m-topologique, espace → 40
  • mp-topologie induite → 131
  • mp-topologie produit → 132
  • mp-topologie projective → 132
  • mp-topologie quotient → 133
  • mp-topologique, espace → 129
  • mpi-topologie associée → 144
  • mpi-topologie induite → 142
  • mpi-topologie produit → 143
  • mpi-topologie projective → 143
  • mpi-topologie quotient → 146
  • mpi-topologique, espace → 136
  • maximal
  • orientée, fonction → 106
  • orienté, système → 111
  • ouvert → 8
  • ouverte, application → 10
  • Φ-système → 96
  • Ψ-convergence → 95
  • Ψ-système → 95
  • plus fin, quasi-ordonateur → 91
  • plus fine, general-topologie → 13
  • plus fine, relation → 90
  • point d’accumulation → 115
  • point limite → 43
  • produit, general-topologie → 20
  • produit, m-topologie → 68
  • produit, mp-topologie → 132
  • produit, mpi-topologie → 143
  • produit, p-topologie → 125
  • progressive, fonction d’adhérence → 114
  • projective, general-topologie → 19
  • projective, m-topologie → 67
  • projective, mp-topologie → 132
  • projective, mpi-topologie → 143
  • projective, p-topologie → 125
  • propre, convergence → 128
  • propre, fonction de voisinage → 114, 126
  • p-topologie associée → 123
  • p-topologie induite → 122
  • p-topologie produit → 125
  • p-topologie projective → 125
  • p-topologie quotient → 126
  • p-topologique, espace → 115
  • quasi-ordonateur → 86
  • quasi-ordonateur rare → 88
  • quasi-ordre → 76
  • quotient, general-topologie, par une application → 24
  • quotient, general-topologie, par une relation → 29
  • quotient, m-topologie → 71
  • quotient, mp-topologie → 133
  • quotient, mpi-topologie → 146
  • quotient, p-topologie → 126
  • rare, ensemble de parties → 34
  • rare, quasi-ordonateur → 88
  • rare, sous-système → 35
  • réflexive, fermeture — d’une relation → 79
  • réflexive, relation → 76
  • relation antisymétrique → 91
  • relation binaire → 76
  • relation bloquée → 88
  • relation compatible → 30
  • relation réflexive → 76
  • relation transitive → 76
  • représentatif, domaine — de la convergence → 95
  • section vers le haut → 77
  • système dirigé → 110
  • système fondamental de voisinages d’un point → 57
  • système orienté → 111
  • transitive, relation → 76
  • voisinage → 4
  • voisinage d’une partie → 23
  • voisinage l-cylindrique → 20
  • voisinage, système fondamental de — d’un point → 57
Notes
1
Le format DjVu donne une meilleure compression que le PDF. Il est moins répandu que le PDF, mais quand même relativement courant en science. En cherchant un peu, vous devez pouvoir trouver et installer facilement un programme qui vous permette de lire du DjVu dans votre ordinateur.
Dominique Meeùs. Date: 2015